Question

在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，．過點(diǎn)M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點(diǎn)N₁，．記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A(5，0)、B(1，0)，過點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在A與P之間)．

(1)求曲線C的方程；

(2)證明不存在直線l，使得|BP|＝|BQ|；

(3)過點(diǎn)P作y軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M1的坐標(biāo)為(0，)，，于是點(diǎn)N的坐標(biāo)為，N1的坐標(biāo)為，所以 　　由 　　由此得 　　由 　　即所求的方程表示的曲線C是橢圓．　3分 　　(2)點(diǎn)A(5，0)在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C無(wú)交點(diǎn)，所以直線l斜率存在，并設(shè)為k．直線l的方程為 　　由方程組 　　依題意 　　當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)PQ的中點(diǎn)為， 　　則 　　 　　又 　　 　　而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|＝|BQ|．　7分 　　(3)由題意有，則有方程組 　　　由(1)得　(5) 　　將(2)，(5)代入(3)有 　　整理并將(4)代入得， 　　易知 　　因?yàn)锽(1，0)，S，故，所以 　　 　　　13分