Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-3x²sinθ+

1

32

，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ＜π．
（1）當(dāng)θ=0時，判斷函數(shù)f（x）是否有極值，說明理由；
（2）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；
（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)θ=0時，f（x）=4x³+

1

32

在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，無極值．
（2）f′（x）=12x²-6xsinθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x2=

sinθ

2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出參數(shù)θ的取值范圍．（3）由題設(shè)，a須滿足不等式組

2a-1＜a a≤0

，或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 sinθ

，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)θ=0，即sinθ=0時，f（x）=4x³+

1

32

，
則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，故無極值．…（3分）
（2）f′（x）=12x²-6xsinθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x2=

sinθ

2

，
由0≤θ＜π及（1），只需考慮sinθ＞的情況．…（5分）
當(dāng)x變化時，f′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， sinθ 2 ）	sinθ 2	（ sinθ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

因此，函數(shù)f（x）在x=

sinθ

2

處取得極小值f（

sinθ

2

），
且f(

sinθ

2

)=-

1

4

sin3θ+

1

32

，
要使f(

sinθ

2

)＞0，必有-

1

4

sin3θ+

1

32

＞0，得0＜sinθ＜

1

2

，
所以0＜θ＜

π

6

或

5π

6

＜θ＜π．…（9分）
（3）解：由（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與（

sinθ

2

，+∞）內(nèi)都是增函數(shù)．
由題設(shè)，函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，
則a須滿足不等式組

2a-1＜a a≤0

，或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 sinθ

，…（12分）
由（2）中0＜θ＜

π

6

或

5π

6

＜θ＜π時，0＜sinθ＜

1

2

，
要使不等式2a-1≥

1

2

sinθ，關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

，
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，0]∪[

5

8

，1）．…（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．