Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若恰有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，為常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)性；當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)，對分類討論，即可求解；

（2）函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，通過分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，把兩個零點(diǎn)轉(zhuǎn)為新函數(shù)的圖像與直線有兩個交點(diǎn)，利用求導(dǎo)作出新函數(shù)的圖像，即可求解.

（1）的定義域為，

，

當(dāng)時，為常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)性；

當(dāng)時，令；

當(dāng)時，令；

綜上所述，當(dāng)時，為常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)性；

當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

（2）由題意，的定義域為，

且，若在上有兩個極值點(diǎn)，

則在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

即 ①有兩個不相等的正的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)時，不是的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)時，由①式可得，

令，，

單調(diào)遞增，又；

單調(diào)遞增，且；

單調(diào)遞減，且；

因為；

所以左側(cè)，；

右側(cè)，；

，；

所以函數(shù)的圖像如圖所示：

要使在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

則

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.