Question

14．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（0）=0，求出b，a值；
（Ⅱ）利用定義的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，設(shè)?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的正負(fù)即可．

解答 解：（Ⅰ）由題知，f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即b=0…（3分）
又因?yàn)閒（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
所以a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（Ⅱ）證明：?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
則有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$，
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-1，1），
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和利用定義的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．