【題目】已知函數(shù)f(x)=3|x|+log3|x|.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并加以證明;
(2)說明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并利用單調(diào)性定義證明;
(3)若 f(2a)<28,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=3|x|+log3|x|的定義域為R{x|x≠0}

且f(﹣x)=3|x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f(x),

則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)


(2)解:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),

證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則

f(x1)﹣f(x2)= <0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,

則f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)


(3)解:∵f(3)=28,f(2a)<28,(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)

∴2a<3,∴a<log23


【解析】(1)求函數(shù)f(x)=3|x|+log3|x|的定義域為R{x|x≠0},判斷f(﹣x)=3|x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f(x),即可;(2)用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步,取值,作差,化簡變形,判號,下結(jié)論;(3)利用f(3)=28,f(2a)<28,(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),即可得出結(jié)論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較),還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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;④
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等級

一等品

二等品

三等品

次品

等級

一等品

二等品

三等品

次品

利潤

表1 表2

若從這批產(chǎn)品中隨機抽取出的1件產(chǎn)品的平均利潤(即數(shù)學期望)為元.

(1) 設(shè)隨機抽取1件產(chǎn)品的利潤為隨機變量 ,寫出的分布列并求出的值;

(2) 從這批產(chǎn)品中隨機取出3件產(chǎn)品,求這3件產(chǎn)品的總利潤不低于17元的概率.

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