Question

（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

 (Ⅰ) 若點是的中點，求證：平面；

（II）試問點在線段上什么位置時，二面角的余弦值為.

 

Answer 1

【答案】

．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中的二面角的求解，以及線面平行證明的綜合運用。

（1）設，交于點，連接，易知為的中位線，故，又平面，平面，得平面

（2）合理的建立空間直角坐標系，然后求解平面的法向量，運用法向量與法向量的夾角來表示二面角的平面角的大小得到結論。

（Ⅰ）證明：設，交于點，連接，易知為的中位線，故，又平面，平面，得平面．………4分

（Ⅱ）解：如圖，建立空間直角坐標系，

 

在中，斜邊，，得∴,,．設，得．

設平面的一個法向量為，由，即，，取，得．

而平面的法向量，∴由題得，

即，解得（舍去）或．

∴當點在線段的中點時，二面角的余弦值為．…………14分