已知點(diǎn)A（-2，0），B（1，0），平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=λ|PB|（λ為常數(shù)，λ＞0）．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程，并指出其表示的曲線的形狀．
（2）當(dāng)λ=2時(shí)，P的軌跡E與x軸交于C、D兩點(diǎn)，M是軌跡上異于C、D的任意一點(diǎn)，直線l：x=-3，直線CM與直線l交于點(diǎn)C′，直線DM與直線l交于點(diǎn)D'．求證：以C′D′為直徑的圓總過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由|PA|=λ|PB|得：
(x+2)2+y2
=λ
(x-1)2+y2

變形整理得：（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+（4+2λ2）x+4-λ2=0
當(dāng)λ=1時(shí)，化為x=-
1
2
，此時(shí)軌跡E所表示的曲線為直線．
當(dāng)λ≠1時(shí)，化為(x+
λ2+2
1-λ2
)2+y2=
9λ2
(1-λ2)2
．
此時(shí)軌跡E所表示的曲線是以(-
λ2+2
1-λ2
，0)為圓心，半徑為|
3λ
1-λ2
|的圓；
（2）λ=2時(shí)，方程(x+
λ2+2
1-λ2
)2+y2=
9λ2
(1-λ2)2
化為x2-4x+y2=0，
P的軌跡方程為x2-4x+y2=0，此時(shí)C（0，0）、D（4，0），設(shè)M（x0，y0），
則直線CM的方程為：y=
y0
x0
x．
聯(lián)立方程
x=-3
y=
y0
x0
x
，得C′(-3，
-3y0
x0
)，
直線DM的方程為：y=
y0
x0-4
(x-4)．
聯(lián)立方程
x=-3
y=
y0
x0-4
(x-4)
，D′(-3，
-7y0
x0-4
)．
∴以C'D'為直徑的圓的方程為(x+3)2+(y+
3y0
x0
)(y+
7y0
x0-4
)=0，
又
y20
=4x0-
x20
，整理得：(x+3)2+y2-21+
10x0-12
y0
y=0．
令y=0，則有（x+3）2-21=0，解得x=-3±
21

∴以C'D'為直徑的圓總過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（-3±
21
，0）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C:的離心率，右焦點(diǎn)到直線1的距離，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程;
（2）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn)，證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長(zhǎng)度的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

直線y＝kx＋b與曲線交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求曲線的離心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（3）當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

點(diǎn)P是圓C：（x+2）2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F（2，0），線段PF的垂直平分線與直線CP的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知定點(diǎn)F（2，0）和定直線l：x=-2，動(dòng)圓P過定點(diǎn)F與定直線l相切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程．
（2）若以M（2，3）為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點(diǎn)，且線段AB是此圓的直徑時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知：⊙M的方程為x2+（y-2）2=1，Q點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA、QB分別切⊙M于A、B．
（1）求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若|AB|＞
4
2
3
，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)xQ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在三角形ABC中，已知A（-1，0），C（1，0），且sinA+sinC=2sinB，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程（　�。�
A．
x2
3
+
y2
4
=1(x＜0)		B．
x2
3
+
y2
4
=1(y≠0)
C．
x2
4
+
y2
3
=1(y≠0)		D．
x2
4
+
y2
3
=1(x＜0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)e是橢圓＋＝1的離心率，且e∈(，1)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．(0,3)B．(3，)
C．(0,3)∪(，＋∞)D．(0,2)

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