Question

已知從A地去B地有兩條路可走，并且汽車走路①堵車的概率為

1

4

；汽車走路②堵車的概率為p．若現(xiàn)在有兩輛汽車走路①，有一輛汽車走路②，且這三輛車是否堵車相互之間沒(méi)有影響．
（Ⅰ）若這三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為

7

16

，求走公路②堵車的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求這三輛汽車中被堵車輛的輛數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，走公路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫(xiě)出關(guān)于p的方程，解出p的值，得到結(jié)果
（Ⅱ）確定三輛汽車中被堵車輛的個(gè)數(shù)ξ的可能取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫(xiě)出變量的分布列，從而可求數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2p=

7

16

，即3p=1，∴p=

1

3

         …（5分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=

3

4

•

3

4

•

2

3

=

3

8

；P（ξ=1）=

7

16

；P（ξ=2）=

1

4

•

1

4

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

1

3

=

1

6

；P（ξ=3）=

1

4

•

1

4

•

1

3

=

1

48

ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	3 8	7 16	1 6	1 48

所以Eξ=0×

3

8

+1×

7

16

+2×

1

6

+3×

1

48

=

5

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．