Question

2．如果二面角α-L-β的大小是60°，線段AB在α內(nèi)，AB與L所成的角為60°，則AB與平面β所成角的正切值是$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$．

Answer 1

分析 過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作CD⊥l于D，連結(jié)AD，由三垂線定理證出AD⊥l，可得∠ADC為二面角α-L-β的平面角．連線CB，由AC⊥β可得∠ABC為AB與平面β所成的角，再利用解直角三角形知識，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計算即可得出求出AB與平面β所成角的正弦值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可AB與平面β所成角的正切值．

解答 解：過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線，垂足為D．
連結(jié)AD，根據(jù)三垂線定理可得AD⊥L，
因此，∠ADC為二面角α-L-β的平面角，∠ADC=60°
又∵AB與L所成角為60°，
∴∠ABD=60°，
連結(jié)BC，可得BC為AB在平面β內(nèi)的射影，
∴∠ABC為AB與平面β所成的角．
設(shè)AD=2x，則Rt△ACD中，AC=ADsin60°=$\sqrt{3}$x，
Rt△ABD中，AB=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x
∴Rt△ABC中，sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=34，
∴tan∠ABC=$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$
故答案為：$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查了二面角的平面角，考查了線面角，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題．