Question

12．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥AD，PA⊥AB，AB=AD，AC與BD交于點(diǎn)O．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）直線PD與過直線AC的平面α平行，平面α與棱PB交于點(diǎn)M，指明點(diǎn)M的位置，并證明．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面垂直的判斷定理可得PA⊥底面ABCD，即可得到PA⊥BD，得到BD⊥AC，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）點(diǎn)M是棱PB的中點(diǎn)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，即可求出PD∥OM，即可得到M為PB的中點(diǎn)．

解答 證明（Ⅰ）：∵PA⊥AB，PA⊥AD，
∴PA⊥面ABCD
∴PA⊥BD
又已知ABCD為平行四邊形，且AB=AD，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC
又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）點(diǎn)M是棱PB的中點(diǎn)，
證明：如圖，

連接MA，MC，MO，
∵PD∥平面MAC，平面PDB∩平面MAC=OM，PD?平面PDB
∴PD∥OM
又∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定以及線面平行的性質(zhì)，屬于中檔題．