Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n+2，a₁=2．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}≤1-\frac{1}{2^n}$，n∈N*．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）方法一：利用放縮法證明．
方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 證明：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+2，得a_n+1+2=2（a_n+2），
即$\frac{{{a_n}_{+1}+2}}{{{a_n}+2}}=2$，
所以，數(shù)列{a_n+2}是公比為2的等比數(shù)列．${a_n}+2=（{{a_1}+2}）•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，
所以${a_n}={2^{n+1}}-2$．                           
（Ⅱ）法一：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{2^{n+1}}-2}}≤\frac{1}{2^n}$（當(dāng)n=1時(shí)取“=”），
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$$≤\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}$=$\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{2^n}$．                       
法二：用數(shù)學(xué)歸納法．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}，1-\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，原不等式成立．  
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N*）時(shí)，不等式成立，即$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_k}≤1-\frac{1}{2^k}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_k}+\frac{1}{{{a_{k+1}}}}$$≤（{1-\frac{1}{2^k}}）+\frac{1}{{{2^{k+2}}-2}}$=$1-\frac{{3•{2^k}-2}}{{{2^k}•（{{2^{k+2}}-2}）}}$=$1-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}•\frac{{（{{2^k}-1}）+（{{2^{k+1}}-1}）}}{{{2^{k+1}}-1}}$$≤1-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$
這說明，當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立．
綜合（1）（2），可知：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}≤1-\frac{1}{2^n}$，n∈N*．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明以及不等式的證明，考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題