Question

命題p：x²-4mx+1=0有實數(shù)解，命題q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立．
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題?p∨?q為真命題，且命題p∨q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）命題p為真命題，則x²-4mx+1=0有實數(shù)解，即△=16m²-4≥0即可；
（2）命題q為真命題，設f（x）=mx²-2x-1，對m分類討論求解m的范圍，然后命題?p∨?q為真命題，且命題p∨q為真命題，得p、q為一真一假，分類討論可求的實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵x²-4mx+1=0有實根，
∴△=16m²-4≥0，
∴m≤-

1

2

或m≥

1

2

，
∴m的取值范圍是（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞），
（2）設f（x）=mx²-2x-1，
當m=0時，f（x）=-2x-1，解得x=-

1

2

，q為真命題；
當m＞0時，△=4+4m＞0，q為真命題；
當m＜0時，需有△=4+4m＞0，∴m＞-1；
故若q為真命題，有：m＞-1，
∵?p∨?q為真，p∨q為真，
∴p、q為一真一假，
若p真q假，則

m≤- 1 2 或m≥ 1 2 m≤-1

，解得m≤-1，
若p假q真，則

- 1 2 ＜m＜ 1 2 m＞-1

，解得-

1

2

＜m＜

1

2

，
∴滿足條件的m的取值范圍是（-∞，-1]∪（-

1

2

，

1

2

）．

點評：本題考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系、一元二次不等式的解法、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎題．