已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其中每一項(xiàng)及公差d均不為零，設(shè)aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）是關(guān)于x的一組方程：
（1）求所有這些方程的公共根；
（2）設(shè)這些方程的另一個(gè)根為mi，求證
1
m1+1
，
1
m2+1
，
1
m3+1
，…，
1
mn+1
，…也成等差數(shù)列．
分析：（1）設(shè)出公共根，代入方程，再寫一個(gè)方程，兩個(gè)方程相減，即可求得結(jié)論；
（2）設(shè)另一個(gè)根，利用韋達(dá)定理，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得結(jié)論．
解答：（1）解：公共根為p，則aip2+2ai+1p+ai+2=0①
ai+1p2+2ai+2p+ai+3=0②
②-①，得dp2+2dp+d=0，d≠0為公差，∴（p+1）2=0．
∴p=-1是公共根；
（2）證明：設(shè)另一個(gè)根為mi，則mi+（-1）=
-2ai+1
ai
=-2-
2d
ai
．
∴mi+1=-
2d
ai
，即
1
mi+1
=-
ai
2d
，
∴
1
mi+1+1
-
1
mi+1
=-
ai+1-ai
2d
=-
1
2

∴{
1
mi+1
}是以-
1
2
為公差的等差數(shù)列．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義一個(gè)“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都是同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有an•an+1•an+2=k（k為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=3，公積為27，則a1+a2+a3+…+a18=
78
78
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一個(gè)項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那末這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積，則T2011=
51006
2
51006
2
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們對數(shù)列作如下定義，如果?n∈N*，都有anan+1an+2=k（k為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=2，公積為6，則a1+a2+a3+…+a9=
18
18
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列的定義為：在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差．
（1）類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，求 a18的值，并猜出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式（不要求證明）．

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