Question

（2012•廣東模擬）甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是

2

3

和

3

4

假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒(méi)有影響．
（1）求甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；
（2）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊，問(wèn)：乙恰好射擊4次后，被中止射擊的概率是多少？
（3）設(shè)甲連續(xù)射擊3次，用ξ表示甲擊中目標(biāo)時(shí)射擊的次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．（結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析：（1）求甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率，考慮其對(duì)立事件的概率即可；
（2）設(shè)“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，根據(jù)題意，必然乙是最后兩次未擊中目標(biāo)，第一次及第二次至多次有一次未擊中目標(biāo)，結(jié)合概率的計(jì)算公式，計(jì)算可得答案；
（3）ξ服從二項(xiàng)分布，根據(jù)期望公式即可求得，或者先求分布列，再求期望．

解答：解：（1）記“甲連續(xù)射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A₁，由題意，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P（A₁）=1-P（

.

A1

）=1-(

2

3

)3=

19

27

ξ	0	1	2	3
p	1 27	6 27	12 27	8 27

答：甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率為

19

27

；…（4分）
（2）記“乙恰好射擊4次后，被中止射擊”為事件A₂，由于各事件相互獨(dú)立，
故P（A₂）=

1

4

×

1

4

×

3

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

3

4

×

3

4

=

3

64

，
答：乙恰好射擊4次后，被中止射擊的概率是

3

64

…（8分）
（3）根據(jù)題意ξ服從二項(xiàng)分布，Eξ=3×

2

3

=2…（12分）
（3）方法二：p(ξ=0)=

C

0 3

•(

1

3

)3=

1

27

p(ξ=1)=

C

1 3

•(

2

3

)•(

1

3

)2=

6

27

p(ξ=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(

1

3

)1=

12

27

p(ξ=1)=

C

3 3

•(

2

3

)3•(

1

3

)0=

8

27

∴Eξ=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2…（12分）
說(shuō)明：（1），（2）兩問(wèn)沒(méi)有文字說(shuō)明分別扣（1分），沒(méi)有答，分別扣（1分）．
第（3）問(wèn)方法對(duì)，算錯(cuò)數(shù)的扣（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率的乘法公式與n次重復(fù)試驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，考查隨機(jī)變量的期望，解題的關(guān)鍵是明確事件之間的相互關(guān)系（互斥、對(duì)立等）．