Question

【題目】在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第題的難度，為答對(duì)該題的人數(shù)，為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題.測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：

題號(hào)	1	2	3	4	5
考前預(yù)估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測(cè)試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

題號(hào)	1	2	3	4	5
實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)	16	16	14	14	8

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；

（2）從抽取的20名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第題的實(shí)測(cè)難度，為第題的預(yù)估難度（）.規(guī)定：若，則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.

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【答案】（1）96人（2）見(jiàn)解析，（3）該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.

【解析】

(1)由20人中答對(duì)第5題的人數(shù)為8人，求出實(shí)測(cè)難度，再估計(jì)240人中實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；(2)由X的可能取值分別求出相應(yīng)的概率，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實(shí)測(cè)難度作為240名學(xué)生第i題的實(shí)測(cè)難度，由題設(shè)條件推出該次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.

（1）因?yàn)?/span>20人中答對(duì)第5題的人數(shù)為8人，因此第5題的實(shí)測(cè)難度為.

所以，估計(jì)240人中有人實(shí)測(cè)答對(duì)第5題.

（2）的可能取值是0，1，2.

；；.

的分布列為：

	0	1	2

.

（3）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實(shí)測(cè)難度，作為240名學(xué)生第題的實(shí)測(cè)難度.則

.

因?yàn)?/span>，

所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.

Answer 1

【答案】（1）96人（2）見(jiàn)解析，（3）該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.

【解析】

(1)由20人中答對(duì)第5題的人數(shù)為8人，求出實(shí)測(cè)難度，再估計(jì)240人中實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；(2)由X的可能取值分別求出相應(yīng)的概率，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實(shí)測(cè)難度作為240名學(xué)生第i題的實(shí)測(cè)難度，由題設(shè)條件推出該次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.

（1）因?yàn)?/span>20人中答對(duì)第5題的人數(shù)為8人，因此第5題的實(shí)測(cè)難度為.

所以，估計(jì)240人中有人實(shí)測(cè)答對(duì)第5題.

（2）的可能取值是0，1，2.

；；.

的分布列為：