Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當a∈R時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）對任意的x∈（1，+∞）均有f（x）＜ax，若a∈Z，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）a的最小值為3

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，分情況討論，進而可得求得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由得到，轉(zhuǎn)化為，對任意成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)的最小值．

（1）由題意，函數(shù)，

則，x＞0且x≠1，

令，則其圖象對稱軸為直線x，g（0）＝10，

當，即a≥20時，則g（x）＞0，f′（x）＞0，

此時f（x）分別在（0，1）和（1，+∞）上遞增，

當時，即a＜20時，令△＝（a﹣20）2﹣400≤0．可得0≤a＜20，

所以當0≤a＜20時，則g（x）＞0，f′（x）＞0，

此時f（x）分別在（0，1）和（1，+∞）上遞增，

當a＜0時，由g（x）＝0解得x1，x2，

易知f（x）分別在（0，x1），（x2，+∞）上遞增，分別在（x1，1），（1，x2）上遞減．

綜上所述，當a≥0時，f（x）分別在（0，1）和（1，+∞）上遞增，

當a＜0時，分別在（0，x1），（x2，+∞）上遞增，分別在（x1，1），（1，x2）上遞減．

（2）由題意得，，

即，對任意成立，

令F（x），x＞1，則，x＞1，

令h（x）＝（2﹣x）lnx+x﹣1，h′（x）＝﹣lnx，x＞1

因為h′（x）在（1，+∞）上遞減，且h′（1）＝2＞0，當x→+∞時，h′（x）→﹣∞，

所以存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）＝0，且h（x）在（1，x0）上遞增，在（x0，+∞）上遞減，

因為h（1）＝0，所以h（x0）＞0，

因為當x→+∞時，h（x）→﹣∞，所以存在x1∈（x0，+∞），使得h（x1）＝0，

且F（x）在（1，x1）上遞增，在（x1，+∞）上遞減，

所以F（x）max＝F（x1），

因為h（x1）＝（2﹣x1）lnx1+x1﹣1＝0，所以lnx1，所以F（x1），

因為h（4）＝﹣2ln4+3＝ln0，h（5）＝﹣3ln5+4＝ln0，所以x1∈[4，5]，

令Φ（x），x∈[4，5]，易證Φ（x）在區(qū)間[4，5]上遞減，

所以Φ（x）∈[，]，

即F（x）max∈[，]，因為a∈Z，所以a的最小值為3．