Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x（x+a）-x²+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x-2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的極值及其零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（0）以及f′（0）的值，求出a，b的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值以及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x+a+1）-2x+b，
由已知可得f（0）=a=-2，f′（0）=a+b+1=1，
解得a=-2，b=2．（4分）
（2）f′（x）=（e^x-2）（x-1），
由f′（x）＞0，得：x＜ln2或x＞1，
由f′（x）＜0，得：ln2＜x＜1，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，ln2）與（1，+∞），減區(qū)間為（ln2，1），
∴f（x）的極大值為f（ln2）=-（2-ln2）²＜0，
極小值為f（1）=-e+1＜0，
故f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．