【題目】已知函數(shù)f(x)= +
(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)設(shè)F(x)= [f2(x)﹣2]+f(x)(a為實(shí)數(shù)),求F(x)在a<0時的最大值g(a);
(3)對(2)中g(shù)(a),若﹣m2+2tm+ ≤g(a)對a<0所有的實(shí)數(shù)a及t∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由1+x≥0且1﹣x≥0,得﹣1≤x≤1,

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣1,1],

又[f(x)]2=2+2 ∈[2,4],由f(x)≥0,得f(x)∈[ ,2],

所以函數(shù)值域?yàn)閇 ,2]


(2)解:因?yàn)镕(x)= =a + +

令t=f(x)= + ,則 = ﹣1,

∴F(x)=m(t)=a( ﹣1)+t= ,t∈[ ,2],

由題意知g(a)即為函數(shù)m(t)= ,t∈[ ,2]的最大值.

注意到直線t=﹣ 是拋物線m(t)= 的對稱軸.

因?yàn)閍<0時,函數(shù)y=m(t),t∈[ ,2]的圖象是開口向下的拋物線的一段,

①若t=﹣ ∈(0, ],即a≤﹣ ,則g(a)=m( )= ;

②若t=﹣ ∈( ,2],即﹣ <a≤﹣ ,則g(a)=m(﹣ )=﹣a﹣ ;

③若t=﹣ ∈(2,+∞),即﹣ <a<0,則g(a)=m(2)=a+2,

綜上有g(shù)(a)=


(3)解:易得 ,

由﹣ ≤g(a)對a<0恒成立,即要使﹣ ≤gmin(a)= 恒成立,

m2﹣2tm≥0,令h(t)=﹣2mt+m2,對所有的t∈[﹣1,1],h(t)≥0成立,

只需 ,

解得m的取值范圍是m≤﹣2或m=0,或m≥2


【解析】(1)由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定義域,先求[f(x)]2的值域,再求f(x)的值域;(2)F(x)=a + + ,令t=f(x)= + ,則 = ﹣1,由此可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),按照對稱軸t=﹣ 與t的范圍[ ,2]的位置關(guān)系分三種情況討論,借助單調(diào)性即可求得其最大值;(3)先由(2)求出函數(shù)g(x)的最小值,﹣ ≤g(a)對a<0恒成立,即要使﹣ ≤gmin(a)恒成立,從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一次不等式,再根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組,解出即可.

練習(xí)冊系列答案
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求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程;

判斷變量xy之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);

若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.

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1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?

2)根據(jù)這300樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為: .估計該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率;

3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時,請完成每周平均體育運(yùn)動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)


0.10

0.05

0.010

0.005


2.706

3.841

6.635

7.879

附:

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣lnx,g(x)=x2﹣ax.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)﹣f(x),A(x1 , h(x1)),B(x2 , h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖象上任意兩點(diǎn),且滿足 >1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥ 成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

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