Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn).

（1）試判斷直線：與圓的位置關(guān)系；

（2）設(shè)弦的中點(diǎn)為，求的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）直線與圓相交；（2）.

【解析】

（1）由直線：可知過(guò)定點(diǎn)，求圓心到的距離，與半徑2比較，通過(guò)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，即可得出直線與圓的位置關(guān)系；

（2）分類討論，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，利用圓的性質(zhì)得出，運(yùn)用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得出的軌跡方程；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，時(shí)，也滿足上式；綜合得出軌跡方程.

（1）由圓的方程可知，圓心，半徑為2，

因?yàn)橹本�過(guò)定點(diǎn)，且，

所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線：與圓相交.

（2）由圓的性質(zhì)知：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，

則，∴，

設(shè)，則，，

則.

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，時(shí)，也滿足上式.

∴點(diǎn)的軌跡方程為.