Question

已知函數(shù)f(x)=

1+x

1-x

e-ax．
（Ⅰ）設(shè)a＞0，討論y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)分母不為0得到f（x）的定義域，求出f'（x），利用a的范圍得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的增減性即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要討論當(dāng)0＜a≤2時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)a≤0時(shí)三種情況討論得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）．對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e^-ax．
（�。┊�(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=

2x2

(1-x)2

e^-2x，f'（x）在（-∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）為增函數(shù)．
（ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）為增函數(shù)．
（ⅲ）當(dāng)a＞2時(shí)，0＜

a-2

a

＜1，令f'（x）=0，
解得x₁=-

a-2 a

，x₂=

a-2 a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞，- a-2 a )	(- a-2 a ， a-2 a )	( a-2 a ，1)	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+	+
f（x）	↑	↓	↑	↑

f（x）在（-∞，-

a-2 a

），（

a-2 a

，1），（1，+∞）為增函數(shù)，f（x）在（-

a-2 a

，

a-2 a

）為減函數(shù)．
（Ⅱ）（�。┊�(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（Ⅰ）知：對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．
（ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，取x₀=

1

2

a-2 a

∈（0，1），則由（Ⅰ）知f（x₀）＜f（0）=1
（ⅲ）當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1），恒有

1+x

1-x

＞1且e^-ax≥1，得f（x）=

1+x

1-x

e^-ax≥

1+x

1-x

＞1．
綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈（-∞，2]時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．