Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a，當a為何值時，方程f（x）=0有：
（1）兩個不同的實數(shù)根；
（2）三個不同的實數(shù)根．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，要使函數(shù)f（x）兩個不同的實數(shù)根，則滿足極大值等于0或極小值等于0，（2）求導，令導數(shù)為零，求出函數(shù)的極大值和極小值，要使函數(shù)f（x）有3個不同的零點，只需函數(shù)的極大值大于零，且極小值小于零，解不等式組即可求得結(jié)果．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-x²-x+a，∴f'（x）=3x²-2x-1，
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-

1

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0，得-

1

3

＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
即當x=-

1

3

時，函數(shù)f（x）取得極大值，當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值．
要使函數(shù)f（x）兩個不同的實數(shù)根，則滿足極大值等于0或極小值等于0，
由極大值f（-

1

3

）=

5

27

+a=0，解得a=-

5

27

；再由極小值f（1）=-1+a=0，解得a=1．
綜上實數(shù)m的取值范圍：a=-

5

27

或a=1，
（2）令f'（x）=3x²-2x-1=0，
解得x=1或x=-

1

3

，
當x∈（-

1

3

，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（-

1

3

，1）上單調(diào)遞減；
當x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-

1

3

）、（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故當x=1時，f（x）取極小值a-1，當x=-

1

3

時，f（x）取極大值a+

5

27

，
∵f（x）=x³-3x+a有三個不同零點，
∴

a-1＜0 a+ 5 27 ＞0

，解得-

5

27

＜a＜1．

點評：本題主要考查三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．