Question

設函數f（x）=x+

a

x

+b（a＞b＞0），求f（x）的單調區(qū)間，并證明f（x）在其單調區(qū)間上的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：利用導數求函數的單調區(qū)間，并用定義證明其單調性．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

+b（a＞b＞0
∴f′（x）=1-

a

x2

則由1-

a

x2

≥0得x≤-

a

或x≥

a

，故函數f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）；
由1-

a

x2

≤0得，-

a

≤x≤

a

，又x≠0，故函數f（x）的遞減區(qū)間是[-

a

，0），（0，

a

]．
下面證明f（x）在（0，

a

]上是減函數：
證明：設任意的x₁，x₂∈（0，

a

]，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1x2-a

x1x2

∵x₁，x₂∈（0，

a

]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞a，x₁x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，

a

]上是減函數．
同理可證f（x）在[-

a

，0）上是減函數，在（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）上是增函數．

點評：考查了利用導數求函數單調區(qū)間的方法，以及用函數單調性的定義證明函數的增減性的方法，屬常規(guī)題目．