Question

去年2月29日，我國(guó)發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出空氣質(zhì)量指數(shù)在為優(yōu)秀，各類人群可正常活動(dòng).惠州市環(huán)保局對(duì)我市2014年進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖.
(1) 求的值；
(2) 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值；（注：設(shè)樣本數(shù)據(jù)第組的頻率為，第組區(qū)間的中點(diǎn)值為，則樣本數(shù)據(jù)的平均值為.）
(3) 如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為“特優(yōu)等級(jí)”，則從這一年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)值，其中達(dá)到“特優(yōu)等級(jí)”的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（1）0.03；（2）24.6；（3）分布列詳見解析，.

試題分析：本題主要考查頻率分布直方圖、由樣本估計(jì)總體求平均值、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，利用頻率分布直方圖中長(zhǎng)方形的高=頻率/組距，而所有頻率之和為1，來(lái)計(jì)算a的值；第二問，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)總體的平均值的計(jì)算公式為：頻率分布直方圖中，每一個(gè)長(zhǎng)方形的中點(diǎn)×高×組距，得到的數(shù)據(jù)之和即為平均值；第三問，利用頻率分布直方圖先得到內(nèi)的頻率，即“特優(yōu)等級(jí)”的概率值，通過分析題意可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，利用計(jì)算出每一種情況的概率，再利用計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.
試題解析：(1) 由題意，得，                   1分
解得.                                                 2分
（2）個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為
               3分
由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值約為.     4分
（3）利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)為“特優(yōu)等級(jí)”，
且指數(shù)達(dá)到“特優(yōu)等級(jí)”的概率為，則.            5分
的取值為，                                           6分
，，
，.      10分
∴的分布列為：
  11分
∴.                     12分
（或者）