Question

5．某次數(shù)學(xué)考試試題中共有10道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選1項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分．”某考生每道題都給了一個(gè)答案，已確定有6道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜，試求出該考生：
（Ⅰ）得45分的概率；
（Ⅱ）所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）得分為45分，剩下4道必須再做對(duì)3道題，在其余的四道題中，有兩道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{2}$，有一道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{3}$，還有一道答對(duì)的概率為$\frac{1}{4}$，由此能求出得分為45分的概率．
（Ⅱ）依題意，該考生得分的范圍為{30，35，40，45，50}，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）得分為45分，剩下4道必須再做對(duì)3道題，在其余的四道題中，
有兩道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{2}$，有一道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{3}$，還有一道答對(duì)的概率為$\frac{1}{4}$，
所以得分為45分的概率為：
$P=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{7}{48}$．
（Ⅱ）依題意，該考生得分的范圍為{30，35，40，45，50}．
得分為30分表示只做對(duì)了6道題，其余各題都做錯(cuò)，所以概率為：${P_1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$；
同理可以求得得分為35分的概率為：${P_2}=C_2^1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{17}{48}$；
得分為40）的概率為：${P_3}=\frac{17}{48}$；
得分為45）的概率為：${P_4}=\frac{7}{48}$；
得分為50）的概率為：${P_5}=\frac{1}{48}$．
可知ξ的分布列為：

ξ	30	35	40	45	50
P	$\frac{6}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{1}{48}$

∴$Eξ=30×\frac{6}{48}+35×\frac{17}{48}+40×\frac{17}{48}+45×\frac{7}{48}+50×\frac{1}{48}=\frac{455}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．