Question

如果n件產(chǎn)品中任取一件樣品是次品的概率為p（0≤p≤1），則認(rèn)為這批產(chǎn)品中有np件次品．某企業(yè)的統(tǒng)計資料顯示，產(chǎn)品中發(fā)生次品的概率p與日產(chǎn)量n滿足p=

2

100-n

（n∈N^*，1≤n≤98），有已知每生產(chǎn)一件正品可贏利a元，如果生產(chǎn)一件次品，非但不能贏利，還將損失

a

2

元（a＞0）
（1）求該企業(yè)日贏利額f（n）的最大值；
（2）為保證每天的贏利額不少于日贏利額最大值的50%，試求該企業(yè)日產(chǎn)量的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）n件產(chǎn)品中次品有np件，正品有（n-np）件，進(jìn)而可得該企業(yè)日贏利額f（n）關(guān)于生產(chǎn)件數(shù)的函數(shù)，利用基本不等式，可求該企業(yè)日贏利額f（n）的最大值；
（2）根據(jù)每天的贏利額不少于日贏利額最大值的50%，建立不等式，即可試求該企業(yè)日產(chǎn)量的取值范圍．

解答： 解：（1）f（n）=（n-np）a-np•

a

2

=a（n-

3

2

np）（n∈N^*，1≤n≤98），
于是，f（n）=a（n-

3n

100-n

）=a[-（100-n）-

300

100-n

+103]．
已知100-n＞0，則（100-n）+

300

100-n

≥20

3

，當(dāng)且僅當(dāng)100-n=10

3

，即n≈82.679時成立，
但n是正整數(shù)，f（82）≈68.333a，f（83）≈68.353a，
所以當(dāng)n=83時，f（n）取得最大值

1162

17

a．
（2）a（n-

3n

100-n

）≥

1

2

×

1162

17

a，即17n²-2230n+58100≤0，解得36≤n≤95．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．