Question

某種食品是經(jīng)過A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的產(chǎn)品合格率分別為

3

4

、

2

3

、

4

5

．已知每道工序的加工都相互獨立，三道工序加工的產(chǎn)品都為合格時產(chǎn)品為一等品；有兩次合格為二等品；其它的為廢品，不進入市場．
（Ⅰ）正式生產(chǎn)前先試生產(chǎn)2袋食品，求這2袋食品都為廢品的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ為加工工序中產(chǎn)品合格的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出①2袋食品的三道工序都不合格的概率P₁，②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有兩道工序不合格
的概率P₂，③兩袋都有兩道工序不合格的概率P₃，則所求的概率為P=P1+P2+P3=

1

36

．
（Ⅱ）由題意可得 ξ=0，1，2，3，求出離散型隨機變量的取每個值的概率，即得 ξ的分布列，由分布列求出期望．

解答：解：（Ⅰ）2袋食品都為廢品的情況為：①2袋食品的三道工序都不合格P1=(

1

4

×

1

3

×

1

5

)2=

1

3600

；
②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有兩道工序不合格P2=

C

1 2

×

1

60

×(

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

)=

1

200

；
③兩袋都有兩道工序不合格P3=(

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

)2=

9

400

，
所以2袋食品都為廢品的概率為P=P1+P2+P3=

1

36

．
（Ⅱ）由題意可得 ξ=0，1，2，3，P(ξ=0)=(1-

3

4

)×(1-

2

3

)×(1-

4

5

)=

1

60

，P(ξ=1)=

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

=

3

20

，
P（ξ=3）=

3

4

×

2

3

×

4

5

=

2

5

，故 P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

13

30

，得到ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	1 60	3 20	13 30	2 5

∴Eξ=1×

3

20

+2×

13

30

+3×

2

5

=

133

60

．

點評：本題考查n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率，離散型隨機變量的分布列，離散型隨機變量的期望，求出離散型隨機變量的取每個值的概率，是解題的難點．