Question

（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓的右準(zhǔn)線上的點(diǎn)，滿足線段的中垂線過點(diǎn)．直線：為動(dòng)直線，且直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若在橢圓上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），

求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）所求橢圓方程為。

（Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為．

【解析】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，依題意有

 解得　　　　．

所求橢圓方程為．        　　　 　 ……………………………3分

（Ⅱ）由，得．

設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則……4分

．

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，則．

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，

由，得       即

點(diǎn)在橢圓上，有，

將①、②兩式，得．

，，則且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是． ………………9分

【注】 此題可根據(jù)圖形得出當(dāng)時(shí)，當(dāng)、兩點(diǎn)重合時(shí)．

如果學(xué)生由此得出的取值范圍是可酌情給分．

（Ⅲ），點(diǎn)到直線的距離，

的面積

                ．           ………………………… 10分

由①有，代入上式并化簡，得．

，．                    ……………………… 11分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．

當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為． ……………………… 12分