Question

已知向量

OA

=(2， 0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到直線y=1的距離等于d，并且滿足

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，k∈R）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線；
（2）當(dāng)k=

1

2

時(shí)，求|

OM

+2

AM

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出M的坐標(biāo)并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各點(diǎn)的坐標(biāo)以及動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離等于d代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，整理即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（1-k）（x²-2x）+y²=0，再分情況得出曲線類(lèi)型；
（2）先利用（1）的結(jié)論得出：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2，再把 |

OM

+2

AM

|整理為

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求即可求出 |

OM

+2

AM

|的最大值和最小值，從而得到|

OM

+2

AM

|的取值范圍．

解答：解：（1）∵O為原點(diǎn)，且

OA

=(2，  0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)
∴A（2，0），B（2，1），C（0，1）（1分）
∴

OM

=(x，y)，  

AM

=(x-2，y)，  

BM

=(x-2，y-1)，

CM

=(x，y-1)，d= |y-1|（2分）
又

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)
∴x（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]⇒x²-2x+y²=k（x²-2x）⇒（1-k）x²+2（k-1）x+y²=0（5分）
1）當(dāng)k=1時(shí)，y=0，動(dòng)點(diǎn)軌跡是一條直線；
2）當(dāng)k≠1時(shí)，(x-1)2+

y2

1-k

=14）
①若1-k=1⇒k=0時(shí)，（x-1）²+y²=1動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓；
②若

1-k＞0 1-k≠0

⇒k＜1 且 k≠0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓；
③若1-k＜0⇒k＞1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線．（9分）
（2）當(dāng)k=

1

2

時(shí)，M軌跡方程為（x-1）²+2y²=1
∴y2=

1

2

-

1

2

(x-1)2（10分）
∴t= |

OM

+2

AM

| = |(x，y)+2(x-2，y)| = |(3x-4，  3y)|=

(3x-4)2+9y2

=

(3x-4)2+9 [ 1 2 - 1 2 (x-1)2]

=

9 2 (x- 5 3 )2+ 7 2

（12分）
又（x-1）²+2y²=1⇒（x-1）²≤1⇒0≤x≤2
∴當(dāng) x=

5

3

時(shí)，tmin=

7 2

=

14

2

當(dāng) x=0時(shí)，t_max=4
∴|

OM

+2

AM

|的取值范圍是[

14

2

，4]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，綜合考查了軌跡方程的求法以及向量與圓錐曲線的綜合問(wèn)題和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于難題．