Question

某班50名學(xué)生在一模數(shù)學(xué)考試中，成績(jī)都屬于區(qū)間[60，110]．將成績(jī)按如下方式分成五組：
第一組[60，70）；第二組[70，80）；第三組[80，90）；第四組[90，100）；第五組[100，110]．
部分頻率分布直方圖如圖所示，及格（成績(jī)不小于90分）的人數(shù)為20．
（1）在成績(jī)屬于[70，80）∪[90，100]的學(xué)生中任取兩人，成績(jī)記為m，n，求|m-n|＞10的概率；
（2）在該班級(jí)中任取4人，其中及極格人數(shù)記為隨機(jī)變量X，寫出X的分布列（結(jié)果只要求用組合數(shù)表示），并求出期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）欲求“|m-n|＞10的概率”，即兩人的分差大于10，可根據(jù)直方圖得出分別在[70，80）和[90，100]中的人數(shù)，再求出在這兩個(gè)區(qū)間中各取一人的方法數(shù)，利用組合數(shù)解決即可；
（2）依據(jù)及格人數(shù)X的可能值是以0，1，2，3，4，分別求出它們的概率得分布列，再根據(jù)期望的公式，代入其公式求解．

解答：解：（1）由圖得，成績(jī)?cè)赱100，110]的人數(shù)為4人，
所以在[90，100）的人為16人，
所以在[90，100）的頻率為0.32，
在[80，90）的頻率為0.38．（2分）
∴由題得：成績(jī)?cè)赱70，80）的有8人，
在[90，100）的為16人．
所以|m-n|＞10的概率為

C 1 8 C 1 16

C 2 24

=

32

69

．（6分）
（2）X的分布列為：
（9分）
隨機(jī)變量X服從的是M=50，N=20，n=4的超幾何分布，所以期望E(X)=4×

20

50

=

8

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)．直方圖中的各個(gè)矩形的面積代表了頻率，所以各個(gè)矩形面積之和為1．同時(shí)也考查了分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題．