Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面為直角梯形， ∠CDA=∠BAD=90°， ，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．

（1）求證：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求點(diǎn)A到平面MCN的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一向量法：

以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP分別為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，

由 ，PA=4PQ=4，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)，

可得： ，

∴ ，

設(shè)平面的PBC的法向量為 ，

則有：

令z=1，則 ，

∴ ，

又MQ平面PCB，∴MQ∥平面PCB

法二，幾何法：

取AP的中點(diǎn)E，連接ED，則ED∥CN，依題有Q為EP的中點(diǎn)，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，

又MQ平面PCB，CN平面PCB，∴MQ∥平面PCB

（2）解：設(shè)平面的MCN的法向量為 ，又

則有：

令z=1，則 ，

又 為平面ABCD的法向量，

∴ ，又截面MCN與底面ABCD所成二面角為銳二面角，

∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為

法二，幾何法：

易證：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN與平面MEN所成的二面角即為平面MCN與底面ABCD所成的二面角，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，過E做EF⊥MN，垂足為F，連接QF，

則由三垂線定理可知QF⊥MN，

由（1）可知M，C，N，Q四點(diǎn)共面所以∠QFE為截面MCN與平面MEN所成的二面角的平面角， ，

所以： ，

所以：

（3）解：∵ ，∴所求的距離

法二，幾何法：

因?yàn)镋P的中點(diǎn)為Q，且平面MCN與PA交于點(diǎn)Q，所以點(diǎn)A到平面MCN的距離是點(diǎn)E到平面MCN的距離的3倍，

由（2）知：MN⊥平面QEF，則平面MCNQ⊥平面QEF且交線為QF，作EH⊥QF，垂足為H，則EH⊥平面MCNQ，故EH即為點(diǎn)E到平面MCN的距離．

【解析】此類題一般有兩種解法，一種是利用空間向量法來證明，一種是用立體幾何中線面位置關(guān)系進(jìn)行證明，本題提供兩種解法 向量法：對(duì)于（1）求證：MQ∥平面PCB，可求出線的方向向量與面的法向量，如果兩者的內(nèi)積為0則說明線面平行對(duì)于（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小，求出兩個(gè)平面的法向量，然后根據(jù)根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關(guān)系，求解；對(duì)于（3）求點(diǎn)A到平面MCN的距離，求出平面上任一點(diǎn)與A連線所對(duì)應(yīng)的向量，求這個(gè)向量在該平面的法向量上的投影即可，此法求點(diǎn)到面的距離甚為巧妙．幾何法：（1）求證MQ∥平面PCB，用線面平行的判定定理證明即可；（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小，先在圖形中作出二面角的平面角，再證明其是二面角的平面角，然后根據(jù)題設(shè)中的條件求出平面角的三角函數(shù)值，一般要在一個(gè)三角形中求解函數(shù)值．（3）求點(diǎn)A到平面MCN的距離，須先作出點(diǎn)A在面上的垂線段，然后在三角形中求出此線段的長(zhǎng)度即可．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．