如圖,四面體中,分別是、的中點(diǎn),

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求二面角的正切值;

(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.

 

【答案】

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)

【解析】

試題分析:(1)由題意可知,為等腰三角形,邊上的中線,所以,再由已知條件算出的三條邊長,由此根據(jù)勾股定理,可證,從而得證平面;(2)作于F,連AF,由(1)知,  故,所以 ,則 是二面角的平面角,利用平面幾何知識即可算出其正切值;(3)設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041804324265621583/SYS201404180433409687326936_DA.files/image018.png">,所以,從而求出.也可以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo),利用利用空間向量方法,求解各個小題,詳見解析.

試題解析:(Ⅰ)證明:連結(jié)OC

中,由已知可得    而

平面

(Ⅱ)解: 作于F,連AF

由(1)知,  故 

 , 是二面角的平面角,

易知,.

即所求二面角的正切值為 

(Ⅲ)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為

中,

點(diǎn)E到平面ACD的距離為

方法二:(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)解:以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則

(Ⅲ)解:設(shè)平面ACD的法向量為

是平面ACD的一個法向量,又

點(diǎn)E到平面ACD的距離

考點(diǎn):本題考查的知識點(diǎn)是空間直線與平面垂直的判定,空間點(diǎn)到平面的距離,二面角的平面角,其中(I)的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化,(II)(III)的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,利用向量法解決空間距離和夾角問題.

 

練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分13分)如圖,四面體中,的中點(diǎn),,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求異面直線所成角的大;

(Ⅲ)求二面角的大小.

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如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求異面直線所成角余弦值的大;

(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.

 

 

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如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),

(1)求證:平面;

(2)求直線與平面所成角的余弦值;

(3)求點(diǎn)到平面的距離。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體中,分別是、的中點(diǎn),平面,

    (1)求證:面

    (2)求異面直線所成角的大。

   

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