以下四個(gè)命題:
①f(x)=3cos(2x-
π
3
)
的對(duì)稱軸為x=
π
6
+
2
(k∈Z)

②g(x)=2sin(
π
6
-x)的遞增區(qū)間是[-
π
3
+2kπ,
3
+2kπ]
;
③已知
sinα+cosα
sinα-cosα
=3且tan(α-β)=2
,則tan(β-2α)=
4
3

④若θ是第二象限角,則tan
θ
2
>cot
θ
2
且sin
θ
2
>cos
θ
2

其中,正確命題的序號(hào)為
①③
①③
分析:由2x-
π
3
=kπ,k∈z 求出①中函數(shù)的對(duì)稱軸為x=
π
6
+
2
(k∈Z)
,故①正確.
由 2kπ+
π
2
≤x-
π
6
≤2kπ+
2
,k∈z 求得②中函數(shù)的增區(qū)間,可得②不正確.
sinα+cosα
sinα-cosα
=3
 可得 tanα=2,代入tan(α-β)=2求得tanβ=0,計(jì)算tan(β-2α)=
4
3
,故③正確.
通過(guò)舉反例可得④不正確.
解答:解:①由2x-
π
3
=kπ,k∈z 可得 x=
π
6
+
2
(k∈Z)
,故 f(x)=3cos(2x-
π
3
)
的對(duì)稱軸為x=
π
6
+
2
(k∈Z)
,
故①正確.
②由 2kπ+
π
2
≤x-
π
6
≤2kπ+
2
,k∈z,可得  
3
+2kπ≤x≤
3
+2kπ
,k∈z,
故增區(qū)間為[
3
+2kπ ,
3
+2kπ]
,k∈z,故②不正確.
③由
sinα+cosα
sinα-cosα
=3
 可得
tanα+1
tanα-1
=3
,∴tanα=2.再由tan(α-β)=2=
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
=
2-tanβ
1+2tanβ
 
可得tanβ=0.∴tan(β-2α)=
tanβ-tan2α
1+tanβtan2α
=-tan2α=-
2tanα
1-tan2α
=
4
3
,故③正確.
④不正確,如θ=2π+
3
時(shí),
θ
2
=π+
π
3
,sin
θ
2
=-
3
2
,cos
θ
2
=-
1
2
,sin
θ
2
>cos
θ
2
 不成立,
綜上,只有①③正確,②④不正確.
故答案為:①③.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,及二倍角公式的應(yīng)用,通過(guò)給變量取特殊值,舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確,是一種簡(jiǎn)單有效的方法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log
1
2
(x+
1
x
)
,給出以下四個(gè)命題:
①f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞);
②f(x)的值域?yàn)閇-1,+∞);
③f(x)是奇函數(shù);
④f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.其中所有真命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

有以下四個(gè)命題:
①f(x)=
1
x
在[0,1]上連續(xù);
②若f(x)是(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù),則f(x)在(a,b)內(nèi)有最大值和最小值;
lim
x→
π
2
2sin2x
cosx
=4;
④若f(x)=
x
(x≥0)
x+1(x<0).
lim
x→0
f(x)=0.
其中正確命題的序號(hào)是
 
.(請(qǐng)把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•菏澤一模)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足:f(x+4)=f(x)+f(2),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),y=f(x)單調(diào)遞減,給出以下四個(gè)命題:
①f(2)=0;
②x=-4為函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[8,10]單調(diào)遞增;
④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的兩根為x1,x2,則x1+x2=-8.
上述命題中所有正確命題的序號(hào)為
①②④
①②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足:f(x+4)=f(x)+f(2),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),y=f(x)單調(diào)遞減,給出以下四個(gè)命題:
①f(2)=0;             
②x=-4為函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[8,10]單調(diào)遞增;
④若關(guān)于x的方程f(x)=m在[一6,一2]上的兩根為x1,x2,則x1+x2=-8.
以上命題中所有正確的命題為(  )

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