分析 (Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),P(2,2)或P(2,-2),由此能出過點(diǎn)P的圓C2的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)P=(a,b)=($\frac{{t}^{2}}{2}$,t),t≥2,A(1,0),由題意得PE=$\frac{{t}^{2}}{2}$,S△PBC=$\frac{1}{2}$BC×P橫坐標(biāo)=$\frac{1}{4}$BC×t2,求出BC=$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-4}$,設(shè)m=t2-4,利用均值定理能求出△PBC的面積的最小值.
解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),b2=2×2=4,解得b=±2,
∴P(2,2)或P(2,-2),
當(dāng)P(2,2)時(shí),設(shè)過點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y-2=k(x-2),
即kx-y-2k+2=0,
圓C2:(x-1)2+y2=1的圓心C2(1,0),半徑r=1,
∴$\frac{|k-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得k=$\frac{3}{4}$,
∴過點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y-2=$\frac{3}{4}$(x-2),即3x-4y+2=0,
當(dāng)切線斜率不存在時(shí),所求的切線為x=2,成立;
當(dāng)P(2,-2)時(shí),設(shè)過點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y+2=k(x-2),即kx-y-2k-2=0,
圓C2:(x-1)2+y2=1的圓心C2(1,0),半徑r=1,
∴$\frac{|k-2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得k=-$\frac{3}{4}$,
∴過點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y+2=-$\frac{3}{4}$(x-2),即3x+4y+14=0,
當(dāng)切線斜率不存在時(shí),所求的切線為x=2,成立.
∴過點(diǎn)P(2,2)的圓C2的切線方程為3x-4y+2=0和x=2.
過點(diǎn)P(2,-2)的圓C2的切線方程為3x+4y+14=0和x=2.
(Ⅱ)設(shè)P=(a,b)=($\frac{{t}^{2}}{2}$,t),t≥2,A(1,0),
由題意得:PE=$\sqrt{P{A}^{2}-1}$=$\sqrt{(\frac{{t}^{2}}{2}-1)^{2}+{t}^{2}-1}$=$\frac{{t}^{2}}{2}$,
由切線長知識(shí)PE=PF,BO=BE,CO=CF,
∴S△PBC=$\frac{1}{2}$BC×P橫坐標(biāo)=$\frac{1}{4}$BC×t2,
又S△PBC=$\frac{1}{2}$(BO+CO+BE+CF+PE+PF)r=$\frac{1}{2}$(2BC+2PE)r=BC+$\frac{1}{2}$t2,
∴$\frac{1}{4}$BC×t2=BC+$\frac{1}{2}$t2,
解得:BC=$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-4}$,
設(shè)m=t2-4,
則S△PBC=$\frac{1}{2}$BC×P橫坐標(biāo)=$\frac{1}{4}$×$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-4}$×t2=$\frac{1}{2}×\frac{(m+4)^{2}}{m}$=$\frac{1}{2}(m+\frac{16}{m}+8)$
≥$\frac{1}{2}×(2\sqrt{m×\frac{16}{m}}+8)$=8.
當(dāng)且僅當(dāng)m=4,即a=2時(shí),△PBC的面積取最小值8.
點(diǎn)評 本題考查切線方程的求法,考查三角形面積最小值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意圓的性質(zhì)、切線方程的合理運(yùn)用.
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A. | 2$\sqrt{3}$+4 | B. | 4$\sqrt{3}$ | C. | 8 | D. | 2$\sqrt{3}$+2 |
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A. | $\overrightarrow{e_1}$,2$\overrightarrow{e_2}$ | B. | $\overrightarrow{e_1}$,$\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$ | ||
C. | -$\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$ | D. | $\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$ |
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A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{3}$ | C. | 3 | D. | 2 |
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