Question

19．設(shè)γ，θ為常數(shù)（θ∈（0，$\frac{π}{4}}$），γ∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}）}$），若sin（α+γ）+sin（γ-β）=sinθ（sinα-sinβ）+cosθ（cosα+cosβ）對一切α，β∈R恒成立，則$\frac{{tanθtanγ+cos（{θ-γ}）}}{{{{sin}^2}（{θ+\frac{π}{4}}）}}$=（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 選項結(jié)果是固定值，可以利用特殊值驗證法，令α，β 分別取0和 $\frac{π}{2}$，再令 α，β 分別取 $\frac{π}{2}$ 和 0，化簡可得 tanγ=cotθ，θ+γ=$\frac{π}{2}$，代入要求的式子，化簡可得求得結(jié)果．

解答 解：令 α=0，β=$\frac{π}{2}$可得   sinγ-cosγ=-sinθ+cosθ  ①，
令 α=$\frac{π}{2}$，β=0 可得   cosγ+sinγ=sinθ+cosθ  ②，
由①②可得 sinγ=cosθ，cosγ=sinθ，∴tanγ=cotθ，θ+γ=$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{{tanθtanγ+cos（{θ-γ}）}}{{{{sin}^2}（{θ+\frac{π}{4}}）}}$=$\frac{1+2sinθcosθ}{\frac{1-cos（2θ+\frac{π}{2}）}{2}}$=$\frac{2（1+sin2θ）}{1+sin2θ}$=2，
故選：A．

點評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，求出兩個角θ和γ之間的關(guān)系，即 tanγ=cotθ，θ+γ=$\frac{π}{2}$，是解題的關(guān)鍵．