0＜a＜
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的（　�。�
分析：分類討論：①當a＜0時，不那組題意，②當a=0時，滿足題意③a＞0時，二次函數(shù)對應的拋物線開口向上，對稱軸為x=
1-a
a
，函數(shù)的減區(qū)間是（-∞，
1-a
a
]，要使函數(shù)在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)，則需區(qū)間（-∞，4]在對稱軸左側，即
1-a
a
≥4，解之可得a的范圍．綜合可得其充要條件是0≤a≤
1
5
，由集合的包含關系可得答案．
解答：解：①當a＜0時，二次函數(shù)對應的拋物線開口向下，對稱軸為x=
1-a
a
，
故f（x）在（-∞，
1-a
a
]上單調(diào)遞增，不可能滿足在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)．
②當a=0時，f（x）=-2x+2，此時f（x）是一次函數(shù)，滿足在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)．
③a＞0時，二次函數(shù)對應的拋物線開口向上，對稱軸為x=
1-a
a

函數(shù)的減區(qū)間是（-∞，
1-a
a
]，要使函數(shù)在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)，
則需區(qū)間（-∞，4]在對稱軸左側，所以
1-a
a
≥4，解得a≤
1
5
．
綜上可得函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充要條件是0≤a≤
1
5
．
因為{a|0＜a＜
1
5
}是{a|0≤a≤
1
5
}的真子集，
所以0＜a＜
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充分不必要條件，
故選A
點評：本題考查充要條件的判斷，涉及二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論的思想，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的（　　）條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

“0＜a≤
15
”是“函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)”的
充分不必要
充分不必要
條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•自貢三模）給出下列5個命題：
①0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓敘道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有a1-c1=a2-c2；
③y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④若a∈（π，
5π
4
），則
1
1-tanα
＞1+tanα＞
2tanα
；
⑤函數(shù)f（x）=
e-x+3
e-x+2
（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為2．
其中所有真命題的代號有
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

0＜a＜
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的（　�。�
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．非充分非必要條件

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