【題目】如圖所示,某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB,其中OA=3km,OB=3km,∠AOB=90°.當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開(kāi)挖一個(gè)人工湖△OMN,其中M,N都在邊AB上(M,N不與A,B重合,M在A,N之間),且∠MON=30°.

(1)若M在距離A點(diǎn)2km處,求點(diǎn)M,N之間的距離;

(2)為節(jié)省投入資金,人工湖△OMN的面積要盡可能小.試確定M的位置,使△OMN的面積最小,并求出最小面積.

【答案】(1);(2)

【解析】

1)在△OAB,根據(jù)OA=3km,OB=3km,∠AOB=90°,可以求出,在△OAM中,運(yùn)用余弦定理,求出, 在△OAN中,可以求出,在△OMN中,運(yùn)用正弦定理求出;

(2)解法1:在△OAM中,由余弦定理可以求出的表達(dá)式, 的表達(dá)式,在△OAN中,可以求出的表達(dá)式,運(yùn)用正弦定理求出,運(yùn)用面積求出的表達(dá)式,運(yùn)用換元法、運(yùn)用基本不等式,求出的最小值;

解法2:設(shè)∠AOM=θ,0<θ<,OAM中,由正弦定理得OM的表達(dá)式.在OAN中,由正弦定理得ON的表達(dá)式.利用面積公式可得出,化簡(jiǎn)整理求最值即可=

(1)在△OAB中,因?yàn)?/span>OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°.

在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcosA=7,

所以OM=,所以cos∠AOM==,

在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=

在△OMN中,由=,得MN=×=

(2)解法1:設(shè)AM=x,0<x<3.

在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcosA=x2-3x+9,

所以OM=,

所以=,

在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)

=cos∠AOM=

=

所以SOMN=OMONsinMON=

=,(0x3).

令6-x=t,則x=6-t,3<t<6,則SOMN==t-9+

(2-9)=

當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=3,x=6-3時(shí)等號(hào)成立,SOMN的最小值為

所以M的位置為距離A點(diǎn)6-3km處,可使△OMN的面積最小,最小面積是

km2

解法2:設(shè)∠AOM=θ,0<θ<

在△OAM中,由=,得OM=

在△OAN中,由=,得ON==

所以SOMN=OMONsin∠MON=

===

==,(0<θ<).

當(dāng)2θ+=,即θ=時(shí),SOMN的最小值為

所以應(yīng)設(shè)計(jì)∠AOM=,可使△OMN的面積最小,最小面積是km2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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