Question

15．已知一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在圓x²+y²=36上移動(dòng)，它與定點(diǎn)Q（4，0）所連線(xiàn)段的中點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）過(guò)定點(diǎn)（0，-3）的直線(xiàn)l與點(diǎn)M的軌跡交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且滿(mǎn)足$\frac{x_1}{x_2}$+$\frac{x_2}{x_1}$=$\frac{21}{2}$，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）當(dāng)直線(xiàn)L的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)L：x=0，滿(mǎn)足條件，當(dāng)直線(xiàn)L的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)L：y=kx-3，聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，利用韋達(dá)定理，可求出滿(mǎn)足條件的k值，進(jìn)而得到直線(xiàn)L的方程，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），動(dòng)點(diǎn)P（x₁，y₁），
由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式解得x₁=2x-4，y₁=2y，
由x₁²+y₁²=36，得（2x-4）²+（2y）²=36，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是（x-2）²+y²=9…（4分）
（2）當(dāng)直線(xiàn)L的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)L：x=0，與圓M交于$A（0，\sqrt{5}），B（0，-\sqrt{5}）$，
此時(shí)x₁=x₂=0，不合題意．…（6分）
當(dāng)直線(xiàn)L的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)L：y=kx-3，則$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{{{（x-2）}^2}+{y^2}=9}\end{array}}\right.$，
消去y，得（1+k²）x²-（4+6k）x+4=0，${x_1}+{x_2}=\frac{4+6k}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{4}{{1+{k^2}}}$
由已知${x_1}^2+{x_2}^2=\frac{21}{2}{x_1}{x_2}⇒7{k^2}-24k+17=0⇒k=1，k=\frac{17}{7}$，經(jīng)檢驗(yàn)△＞0．
綜上：直線(xiàn)L為：x-y-3=0，17x-7y-21=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是直線(xiàn)與圓的綜合應(yīng)用，難度中檔．