Question

在△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．虛數(shù)x=2+ai是實系數(shù)方程x²-cx+8=0的根．
（1）求邊長a，c．
（2）若邊長a，b，c成等比數(shù)列，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）易得x₁=2+a與x₂=2-a是實系數(shù)方程x²-cx+8=0的兩個根，由韋達定理可得答案；
（2）由等比數(shù)列易得b值，進而由余弦定理可得cosB，sinB，代入面積公式即可．

解答：解：（1）由題意可得虛數(shù)x₁=2+a與x₂=2-a是實系數(shù)方程x²-cx+8=0的兩個根．----------（2分）
由根與系數(shù)的關系可得

x1+x2=4=c x1•x2=4+a2=8

-------------------------------------------------------------------（4分）
解得

a=2 c=4

--------------------------------------------------------------------------------（6分）
（2）∵邊長a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，解得b=2

2

----------------（7分）
根據(jù)余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

22+42-(2 2 )2

2×2×4

=

3

4

---------------------------------------（9分）
由同角三角函數(shù)的基本關系可得sinB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

---------------------------------------------------------------------------（10分）
所以S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×4×

7

4

=

7

---------------------------------------------------------（12分）

點評：本題考查實系數(shù)的一元二次方程的根，涉及復數(shù)的運算和等比數(shù)列的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的運算，屬基礎題．