Question

若不等式組

x≥0 x+3y-4≥0 3x+y-4≤0

，所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+

4

3

分成面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)k的值為

7

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部．直線y=kx+

4

3

一定經(jīng)過點(diǎn)（0，

4

3

），由三角形面積公式及其性質(zhì)，得到當(dāng)直線經(jīng)過BC的中點(diǎn)時平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分．由此結(jié)合直線的斜率公式加以計算，可得滿足條件的k值．

解答：解：作出不等式組

x≥0 x+3y-4≥0 3x+y-4≤0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（0，

4

3

），B（1，1），C（0，4）
由圖可知，直線y=kx+

4

3

恒經(jīng)過點(diǎn)A（0，

4

3

），
當(dāng)直線y=kx+

4

3

經(jīng)過BC的中點(diǎn)D（

1

2

，

5

2

）時，
平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分．
當(dāng)x=

1

2

，y=

5

2

時，代入直線的方程，可得k=

7

3

．
故答案為：

7

3

點(diǎn)評：本題給出一元二次不等式組表示的平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，求直線的斜率之值．著重考查了一元二次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．