Question

數列{a_n}的各項都是正數，前n項和為S_n，且對任意n∈N₊，都有a

3 1

+a

3 2

+a

3 3

+…+a

3 n

=S

2 n

．
（1）求證：a

2 n

=2S_n-a_n；     
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）當n=1時，

a

3 1

=

a

2 1

，可得a₁=1．當n≥2時，a

3 1

+a

3 2

+a

3 3

+…+a

3 n

=S

2 n

． 

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n-1

=

S

2 n-1

  兩式相減即可得出．
（2）利用（1）和等差數列的通項公式即可得出．

解答： 證明：（1）當n=1時，

a

3 1

=

a

2 1

，
∵a₁＞0，∴a₁=1．
當n≥2時，a

3 1

+a

3 2

+a

3 3

+…+a

3 n

=S

2 n

．  ①

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n-1

=

S

2 n-1

  ②
①-②得，

a

3 n

=an(2a1+2a2+…+2an-1+an)，
∵a_n＞0，
∴

a

2 n

=2a1+2a2+…+2an-1+an，
即

a

2 n

=2Sn-an，
∵a₁=1適合上式，
∴

a

2 n

=2Sn-an，（n∈N^*）．
（2）由（I）知

a

2 n

=2Sn-an，
當n≥2時，

a

2 n-1

=2Sn-1-an-1．
兩式相減得

a

2 n

-

a

2 n-1

=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．

點評：本題考查了“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求通項公式a_n、等差數列的通項公式，屬于難題．