Question

設函數(shù)f（x）=x²-2x+m．
（1）若任意x∈[0，3]，f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍；
（2）若存在x∈[0，3]，f（x）≥0成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）對任意的x∈[0，3]，函數(shù)f（x）=x²-2x+m≥0恒成立，只需f（x）_min≥0恒成立，進一步求出m的范圍．
（2）若存在x∈[0，3]，f（x）=x²-2x+m≥0成立，只需f（x）_max≥0成立，進一步求出m的范圍．

解答： 解：（1）對任意的x∈[0，3]，函數(shù)f（x）=x²-2x+m≥0恒成立
即：f（x）_min≥0恒成立
f（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1
當x=1時，f（x）_min=f（1）=m-1
則：m-1≥0
即：m≥1
（2）若存在x∈[0，3]，f（x）=x²-2x+m≥0成立
即：f（x）_max≥0成立
f（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1
當x=3時，f（x）_max=f（3）=m+3≥0
則：m+3≥0
即：m≥-3
故答案為：（1）m≥1
（2）m≥-3

點評：本題考查的知識點：恒成立問題和存在性問題在二次函數(shù)中的應用，二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化，及相關的運算．