Question

已知點F是橢圓

x2

1+a2

+y2=1（a＞0）的右焦點，動點P到點F的距離等于到直線x=-a的距離．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）設過點F任作一直線與點P的軌跡交于A、B兩點，直線OA、OB與直線x=-a分別交于點S、T（O為坐標原點），試判斷

FS

•

FT

是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已和條件推導出點P的軌跡C是以點F為焦點、直線x=-a為準線的拋物線，由此能求出C的方程．
（2）設直線AB的方程為x=ty+a，A(

y12

4a

， y1)、B(

y22

4a

， y2)，由已知條件推導出

FS

•

FT

=4a2+

16a4

y1y2

．由

x=ty+a y2=4ax

，得y²-4aty-4a²=0，由此能求出

FS

•

FT

的值是定值0．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

1+a2

+y2=1右焦點F的坐標為（a，0），…（1分）
由拋物線定義知，
點P的軌跡C是以點F為焦點、直線x=-a為準線的拋物線，…（3分）
∴C的方程為y²=4ax．…（5分）
（2）設直線AB的方程為x=ty+a，A(

y12

4a

， y1)、B(

y22

4a

， y2)，
則lOA：y=

4a

y1

x，lOB：y=

4a

y2

x．…（6分）
由

y= 4a y1 x x=-a

，得S(-a， -

4a2

y1

)，
同理得T(-a， -

4a2

y2

)．…（8分）
∴

FS

=(-2a， -

4a2

y1

)，

FT

=(-2a， -

4a2

y2

)，
則

FS

•

FT

=4a2+

16a4

y1y2

．…（9分）
由

x=ty+a y2=4ax

，得y²-4aty-4a²=0，∴y1y2=-4a2．…（11分）
則

FS

•

FT

=4a2+

16a4

(-4a2)

=4a2-4a2=0．…（13分）
∴

FS

•

FT

的值是定值，且定值為0．…（14分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查向量的數量積是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意拋物線與直線的位置關系的靈活運用．