Question

10．不等式選講已知函數(shù)f（x）=|2x+a|-a
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x-1|，當(dāng)x∈R時(shí)f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式|2x+2|-2≤6得-5≤x≤3，即可求不等式f（x）≤6的解集；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）=|2x+a|-a+|2x-1|≥|2x+a+1-2x|-a=|a+1|-a，當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x∈R時(shí)f（x）+g（x）≥3等價(jià)于|a+1|-a≥3，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|2x+2|-2
解不等式|2x+2|-2≤6得-5≤x≤3
因此不等式f（x）≤6的解集為{x|-5≤x≤3}…（5分）
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）=|2x+a|-a+|2x-1|≥|2x+a+1-2x|-a=|a+1|-a
當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x∈R時(shí)f（x）+g（x）≥3等價(jià)于|a+1|-a≥3
當(dāng)a≤-1時(shí)，a≤-2
當(dāng)a＞-1時(shí)，無(wú)解，
所以a∈（-∞，-2]…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．