Question

16．給出下列命題：
（1）已知兩平面的法向量分別為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），則兩平面所成的二面角為45°或135°；
（2）若曲線$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-4）∪（1，+∞）；
（3）已知雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，則過點(diǎn)P（1，1）可以作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量夾角公式可得兩平面所成二面角的大小，即可判斷（1）；
由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，可得（4+k）（1-k）＜0，即可判斷（2）；
設(shè)出過P的直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，可得x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得k=2，再由判別式大于0即可判斷（3）．

解答 解：對(duì)于（1），兩法向量的夾角為cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
即有兩平面所成的二面角為45°或135°，故（1）正確；
對(duì)于（2），曲線$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示雙曲線，則（4+k）（1-k）＜0，解得k＞1或k＜-4，
故（2）正確；
對(duì)于（3），設(shè)過P（1，1）點(diǎn)的直線AB方程為y-1=k（x-1），
代入雙曲線方程得
（2-k²）x²-（2k-2k²）x-（k²-2k+3）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=$\frac{2k-2{k}^{2}}{2-{k}^{2}}$，
由已知$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x_p=1，
∴$\frac{2k-2{k}^{2}}{2-{k}^{2}}$=2．解得k=2．
又k=2時(shí)，△=（4-8）²+2（2-4）（4-4+3）=4＞0，
從而直線AB方程為2x-y-1=0．
故（3）正確．
故答案為：（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，考查兩平面所成二面角的求法，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．