Question

（2012•廣西模擬）已知f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，g(x)=

lnx

x

，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值，證明|f(x)|＞g(x)+

1

2

恒成立；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．故f（x）的極小值為f（1）=1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，由此能夠證明|f（x）|＞g(x)+

1

2

恒成立．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．分類討論能推導(dǎo)出存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）有最小值3．

解答：解：（1）∵f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
∴f（x）的極小值為f（1）=1，
即f（x）在（0，e]上的最小值為1，
令h（x）=g（x）+

1

2

=

lnx

x

+

1

2

，h′(x)=

1-lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
∴h(x)min=h(e)=

1

e

+

1

2

＜

1

2

+

1

2

=1=|f（x）|_min，
∴|f（x）|＞g(x)+

1

2

恒成立．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍），
∴a≤0時(shí)，不存在a使f（x）的最小值為3．
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，不存在a使f（x）的最小值為3，
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）有最小值3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，具體涉及到不等式恒成立的證明和探索是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為3．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，合理地運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題．