(2012•徐州模擬)選修4-1:幾何證明選講
如圖,直線AB經(jīng)過圓上O的點C,并且OA=OB,CA=CB,圓O交于直線OB于E,D,連接EC,CD,若tan∠CED=
12
,圓O的半徑為3,求OA的長.
分析:連接OC,在△AOB中,利用等腰三角形三線合一得到OC⊥AB,再結(jié)合切線的判定定理,得到AB與圓O相切于C點.又因為ED是圓O的直徑,可得∠E+∠EDC=90°,利用等角的余角相等,得到∠BCD=∠E,利用公共角∠CBD=∠EBC,得到△BCD∽△BEC,所以BC2=BE•BD.最后在Rt△CDE中,利用正切的定義得到
CD
CE
=
1
2
,所以
BD
BC
=
CD
CE
=
1
2
,設BD=x,則BC=2x,可得(2x)2=x(x+6),解之得x=2,從而得到OA=OB=BD+OD=5.
解答:解:連接OC,
∵△AOB中,OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB
∵OC是圓O的半徑,∴AB與圓O相切于C點.
又∵ED是圓O的直徑,
∴∠ECD=90°,可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC,
BC
BE
=
BD
BC
=
CD
CE
,可得BC2=BE•BD…①
∵Rt△CDE中,tan∠CED=
CD
CE
=
1
2
,
BD
BC
=
CD
CE
=
1
2
,設BD=x,則BC=2x
代入①,得(2x)2=x(x+6),解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5
點評:本題給出圓中的直角三角形和底邊與圓相切的等腰三角形,欲求等腰三角形的腰長,著重考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形三角函數(shù)的定義和與圓有關的比例線段等知識點,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•徐州模擬)如圖,△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形,P是以C為圓心,1為半徑的圓上的任意一點,則
AP
BP
的取值范圍是
[1,13]
[1,13]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•徐州模擬)本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,
若多做,則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,半徑分別為R,r(R>r>0)的兩圓⊙O,⊙O1內(nèi)切于點T,P是外圓⊙O上任意一點,連PT交⊙O1于點M,PN與內(nèi)圓⊙O1相切,切點為N.求證:PN:PM為定值.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣M=
21
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(1)求矩陣M的逆矩陣;
(2)求矩陣M的特征值及特征向量;
C.選修4-2:矩陣與變換
在平面直角坐標系x0y中,求圓C的參數(shù)方程為
x=-1+rcosθ
y=rsinθ
為參數(shù)r>0),以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=2
2
.若直線l與圓C相切,求r的值.
D.選修4-5:不等式選講
已知實數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求證:1<a+b<
4
3

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