Question

7．在數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，滿足S_n=ka_n+n²-n，（k∈R，n∈N^*）
（1）若k=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n-2n-1}為公比不為1的等比數(shù)列，且k＞1，求S_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=1時(shí)，S_n=a_n+n²-n，而a_n=S_n-S_n-1（n≥2），可求得S_n=n²+n，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推公式（k-1）a_n=ka_n-1-2n+2，a₁=S₁=ka₁，分類求出k的值，再根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，S_n=a_n+n²-n，
∴S_n-1=n²-n（n≥2），
∴S_n=（n+1）²-（n+1）=n²+n（n≥1）
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n（n∈N^*）．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=ka_n-ka_n-1+2n-2，
∴（k-1）a_n=ka_n-1-2n+2，a₁=S₁=ka₁，
若k=1，則a_n-2n-1=-1，
從而{a_n-2n-1}為公比為1的等比數(shù)列，不合題意；
若k≠1，則a₁=0，a₂=$\frac{2}{1-k}$，a₃=$\frac{4-6k}{（1-k）^{2}}$，a₁-3=-3，a₂-5=$\frac{5k-3}{1-k}$，a₃-7=$\frac{-7{k}^{2}+8k-3}{（k-1）^{2}}$，
由題意得，（a₂-5）²=（a₁-3）（a₃-7）≠0，
∴k=0或k=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)k=0時(shí)，S_n=n²-n，a_n=2n-2，a_n-2n-1=-3，不合題意；
當(dāng)k=$\frac{3}{2}$時(shí)，a_n=3a_n-1-4n+4，從而a_n-2n-1=3[a_n-1-2（n-1）-1]，
∵a₁-2×1-1=-3≠0，a_n-2n-1≠0，{a_n-2n-1}為公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n-2n-1=-3ⁿ，
∴a_n=2n-3ⁿ+1，
∴S_n=n²+2n-$\frac{{3}^{n+1}}{2}$+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的概念，考查數(shù)列的求和，求得k的值是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，突出考查分類討論思想與化歸思想的應(yīng)用，考查類比推理與運(yùn)算能力，屬于難題．