Question

15．已知圓C過兩點(diǎn)M（-3，3），N（1，-5），且圓心在直線2x-y-2=0上
（1）求圓的方程；
（2）直線l過點(diǎn)（-2，5）且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，若直線l的斜率k大于0，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在直線l使得弦AB的垂直平分線過點(diǎn)P（3，-1），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓心C是MN的垂直平分線與直線2x-y-2=0的交點(diǎn)，CM長為半徑，進(jìn)而可得圓的方程；
（2）直線l過點(diǎn)（-2，5）且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則C到l的距離小于半徑，進(jìn)而得到k的取值范圍；
（3）求出AB的垂直平分線方程，將圓心坐標(biāo)代入求出斜率，進(jìn)而可得答案．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）MN的垂直平分線方程為：x-2y-1=0與2x-y-2=0聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)為C（1，0）
R²=|CM|²=（-3-1）²+（3-0）²=25
∴圓C的方程為：（x-1）²+y²=25…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為：y-5=k（x+2）即kx-y+2k+5=0，設(shè)C到直線l的距離為d，
則d=$\frac{|3k+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
由題意：d＜5   即：8k²-15k＞0
∴k＜0或k＞$\frac{15}{8}$
又因?yàn)閗＞0
∴k的取值范圍是（$\frac{15}{8}$，+∞） …（8分）
（3）設(shè)符合條件的直線存在，則AB的垂直平分線方程為：y+1=-$\frac{1}{k}$（x-3）即：x+ky+k-3=0
∵弦的垂直平分線過圓心（1，0）∴k-2=0   即k=2
∵k=2＞$\frac{15}{8}$
故符合條件的直線存在，l的方程：x+2y-1=0…（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，難度中檔．