【題目】已知函數(shù).

1)若曲線處的切線相互平行,求的值;

2)試討論的單調(diào)性;

3)設(shè),對任意的,均存在,使得.試求實數(shù)的取值范圍.

【答案】f′(x)ax(2a1)(x0)

(1) f′(1)f′(3),解得a.(4)

(2) f′(x)(x0)

0a<時,>2,

在區(qū)間(0,2)和上,f′(x)0

在區(qū)間上,f′(x)0

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和,單調(diào)遞減區(qū)間是.(6)

a=時,f′(x)≥0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)(8)

a>時,0<<2,在區(qū)間和(2,+∞)上,f′(x)0;在區(qū)間上,f′(x)0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是.(10)

(3) 由已知,在(0,2]上有f(x)maxg(x)max.(11)

由已知,g(x)max0,由(2)可知,

0a≤時,f(x)(0,2]上單調(diào)遞增,

f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln2

=-2a22ln2

2a22ln20,解得aln21ln210,故0a≤.(13)

a>時,f(x)]上單調(diào)遞增,在]上單調(diào)遞減,

f(x)maxf=-2--2lna.

a>可知lnalnln=-1,2lna>-2,-2lna2,

22lna0,f(x)max0,(15)

綜上所述,a0.(16)

【解析】

試題(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用條件曲線處的切線相互平行得到,從而在方程中求出的值;(2)對參數(shù)的符號進行分類討論,以確定方程的根是否在定義域內(nèi),并對時,就導(dǎo)數(shù)方程的根的大小進行三種情況的分類討論,從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)將問題中的不等式等價轉(zhuǎn)化為,充分利用(2)的結(jié)論確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值,從而求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析:函數(shù)定義域為,

1函數(shù)

依題意,,即,解得;

2

時,,,

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

時,

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

時,,故的單調(diào)遞增區(qū)間為

時,,

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

3)由已知,在(0,2]上有f(x)maxg(x)max.

由已知,g(x)max0,由(2)可知,

a≤時,f(x)(0,2]上單調(diào)遞增,

f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln2

=-2a22ln2,

2a22ln20,解得aln21ln210,故ln21a≤.

a時,f(x)]上單調(diào)遞增,在]上單調(diào)遞減,

f(x)maxf=-22lna.

a可知lnalnln=-1,2lna>-2,-2lna2,

22lna0,即f(x)max0,符合題意。

綜上所述,aln21.

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(Ⅱ)估計在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅,恰有一桶的質(zhì)量指標大于20;

(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認為,乙種食用油的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設(shè)表示從乙種食用油中隨機抽取10桶,其質(zhì)量指標值位于(14.55,38.45)的桶數(shù),求的數(shù)學期望.

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