Question

9．某牙膏廠生產(chǎn)的牙膏的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬支與年廣告費用a萬元（a≥0）滿足$x=3-\frac{k}{a+1}$（k為常數(shù)），如果不進行廣告宣傳，則該牙膏的年銷售量是1萬支．已知2014年生產(chǎn)該牙膏的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬支該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每支牙膏的銷售價格定為每支牙膏平均成本的$\frac{3}{2}$倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括廣告費用）．
（1）將2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年廣告費用a萬元的函數(shù)；
（產(chǎn)品的利潤=銷售收入-產(chǎn)品成本-廣告費用）
（2）該廠家2014年的廣告費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可知當a=0時，x=1（萬件），可得1=3-k，解得k．即可得出$x=3-\frac{2}{a+1}$．每件產(chǎn)品的銷售價格為$15•\frac{8+16x}{x}$（元）．可得2014年的利潤y=x$（\frac{3}{2}•\frac{8+16x}{x}）$-（8+16x+a）=-$[\frac{16}{a+1}+（a+1）]+29$（a≥0）．
（2）方法一：利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
方法二：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：（1）由題意可知當a=0時，x=1（萬件）
∴1=3-k，即k=2．
所以$x=3-\frac{2}{a+1}$．每件產(chǎn)品的銷售價格為$15•\frac{8+16x}{x}$（元）
∴2014年的利潤y=x$（\frac{3}{2}•\frac{8+16x}{x}）$-（8+16x+a）=4+8x-a=4+8$（3-\frac{2}{a+1}）$-a
=-$[\frac{16}{a+1}+（a+1）]+29$（a≥0）．
（2）方法一：∵$a≥0，\frac{16}{a+1}+（{a+1}）≥2\sqrt{16}=8$，
∴y≤-8+29=21．當且僅當$\frac{16}{a+1}=（{a+1}）⇒a=3$（萬元）時，y_max=21（萬元）
所以當廣告費用為3萬元時，利潤最大，最大值是21萬元．
方法二：求導：$y=x（{\frac{3}{2}×\frac{8+16x}{x}}）-（{8+16x+a}）$=4+8x-a
=$4+8（{3-\frac{2}{a+1}}）$-a=$（{-\frac{16}{a+1}}）$-a+28，y'=$\frac{16}{{{{（a+1）}^2}}}$-1，
令y'=0，求得a=3，代入原函數(shù)，最大為21萬元．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應用、基本不等式的性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．